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Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Analysis Aufgabe 1
Zu jedem t > 0 ist eine Funktion ft gegeben durch Ihr Schaubild sei .
- a)
- Untersuchen Sie K2 auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie K2 für (Längeneinheit 1cm).
Berechnen Sie den Inhalt der von K2 und der x-Achse eingeschlossenen Fläche. (9 VP)
[Ersten Bogen ausgemalt vorstellen]
- b)
- Die Gerade y = -2 und K2 schneiden sich in einem Punkt S.
Bestimmen Sie mit dem Newtonschen Näherungsverfahren einen Näherungswert für die x-Koordinate von S. (Das Verfahren ist abzubrechen, wenn sich die ersten drei Stellen hinter dem Komma erstmals nicht ändern). (6 VP)
[Siehe Auch Casio fx-9750G PLUS/Newton-Näherungsverfahren]
- c)
- Die Ursprungsgerade gt geht durch den Wendepunkt Wt von Kt.
Untersuchen Sie, ob es ein t gibt, für das gt die Normale von Kt in Wt ist. (7 VP) - d)
- Es sei h eine beliebige ganzrationale Funktion 3. Grades mit dem Schaubild C.
Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten des Funktionsterms von h erfüllen, damit C keine Extrempunkte hat?
Wieviele gemeinsame Punkte mit der x-Achse hat C in diesem Fall?
Begründen Sie ihre Antwort. (8 VP)
[Bearbeiten] Gruppe 2 Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1
Peter Lustig ist Hoobygärtner. Zu beiden Seiten eines Weges möchte er eine bunte Mischung von Frühlingsblumen in einer Reihe pflanzen. Auf jeder Seite des Weges möchte er 5 Tulpen, 3 Narzissen und 7 Iris pflanzen. Die Anordnung der Blumen will er dem Zufall überlassen.
- a)
- Wie viele verschiedene Anordnungen der Blumen sind auf einer Seite möglich ?
- b)
- Zur Bepflanzung der linken Wegseite legt er die Blumenzwiebeln in einen Karton, zieht verdeckt eine Zwiebel nach der andere und pflanzt jede sofort ein. Zeichnen sie ein Baumdiagramm mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die ersten zwei Ziehungen und berechnen sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ergebnisse:
- E1: Die ersten zwei gezogenen Zwiebeln gehören zur gleichen Sorte
- E2: Bei der dritten Ziehung erscheint erstmals eine Tulpenzwiebel
- E3: Bei den letzten vier Ziehungen werden nur Tulpenzwiebeln gezogen.
- c)
- Auch für die Bepflanzung der rechten Wegseite legt er die Zwiebeln in einen Karton, zieht aber nun mit einem Griff je drei Zwiebeln und pflanzt sie ein. Berechnen Sie die WAhrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
- E4: Unter den ersten 3 gezogenen Blumen befinden sich 2 Iris.
- E5: Unter den ersten 3 gezogenen Blumen sind keine Narzissen.
- E6: Im ersten Zug sind keine Narzissen, im zweiten Zug sind 3 Narzissen.
- d)
- Inzwischen blühen die Blumen in Peter Lustigs Garten. Zum Geburtstag möchte er seiner Freundin einen Strauß mit Blumen der linken Wegseite schenken. Den Strauß gestaltet er nach folgender Regel:
Er wirft gleichzeitig 2 Laplace Münzen, zeigen beide Münzen Wappen, pflückt er seine Narzisse, zeigen sie bei beide Zahl, pflückt er eine Tulpe, in allen anderen Fällen eine Iris.
Wie oft muss er die Münzen mindestens werfen, damit seine Freundin mit einer Wahrscheinlichkeit größer 90% wenigstens eine Narzisse erhält.
- e)
- Sein Nachbar möchste an der Blumenpracht der rechten Wegseite teilhaben. Dazu schlägt er folgendes Spiel vor. Er würfelt einmal mit zwei Laplace Würfeln. Zeigen beide die gleiche Augenzahl, bekommt er eine Blume und bezahlt a DM. Zeigen die Würfel verschiedene gerade Augenzahlen, bekommt er eine Blume, bezahlt aber 3a DM. Ist die Augensumme beider Würfel ungerade, erhält er zwei Blumen kostenlos. In allen anderen Fällen erhält er keine Blume. Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn bzw. Berlust den Peter Lustig pro Spiel hat, wenn ihn jede Blume selbst 0,50 DM gekostet hat. Für welche Werte von a wird er das Spiel annehmen, ohne einen Verlust zu erleiden?