Baden-Württemberg Abitur Mathematik Hauptprüfung 2005

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Abituraufgabe Fach: Mathematik Jahr: 2005 Bundesland: Baden-Württemberg Dieser Artikel ist eine Prüfungsaufgabe und darf ohne schriftliche Genehmigung nicht weiter verbreitet werden.

Inhaltsverzeichnis 1 Gruppe I Analysis Aufgabe A 2 Gruppe I Analysis Aufgabe B 3 Gruppe II Vektorgeometrie/Stochastik Aufgabe A 3.1 Vektorgeometrie 3.2 Stochastik 4 Gruppe II Vektorgeometrie/Stochastik Aufgabe B 5 Gruppe III Anwendungsorientierte Aufgaben Aufgabe A 6 Gruppe III Anwendungsorientierte Aufgaben Aufgabe B

[Bearbeiten] Gruppe I Analysis Aufgabe A

Für jedes ist eine Funktion definiert durch

Das Schaubild von heißt

a)

Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von exakt. Zeichnen Sie .
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von , der y-Achse und der Normalen im Wendepunkt von eingeschlossen wird. (14 Punkte)

Lösung

b)

Welche Parallelen zur Geraden mit berühren ? (5 Punkte)

c)

Beschreiben Sie den Verlauf des Schaubildes in Abhängigkeit von von a. (6 Punkte)

Lösung

d)

Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte der Kurvenschar.
Beschreiben Sie die Lage der Tiefpunkte der Kurvenschar.
Begründen Sie. dass alle Wendepunkte oberhalb der x-Achse liegen. (10 Punkte)

Lösung

e)

Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion für einen bestimmten Wert von a. (5 Punkte)

[Formel wegdenken]
Bestimmen Sie diesen Wert von a. Begründen Sie ihre Entscheidung.

Lösung

f)

Gegeben ist die Funktion g mit mit .
Ermitteln Sie die Stelle, an der die Funktionswerte von und am stärksten voneinander abweichen.
Wie groß ist die maximale Abweichung? (5 Punkte)

GTR: abs(Y1-Y2) dann Hochpunkt bestimmen Stärkste Abweichung in X = 2,438

[Bearbeiten] Gruppe I Analysis Aufgabe B

[Bearbeiten] Gruppe II Vektorgeometrie/Stochastik Aufgabe A

[Bearbeiten] Vektorgeometrie

Im Anschauungsraum sind die Punkte P(19|8|0), Q(8|8|6)
und die Gerade

sowie für jedes die Gerade gegeben.

a)

Geben Sie eine Gleichung der Geraden durch die Punkte P und Q an.
Zeigen Die, dass g_1 durch P geht.

b)

Begründen Sie, dass für alle parallel zur -Ebene verläuft.

c)

Untersuchen Sie, ob und windschief sind.

d)

Zeigen Sie, dass für alle die gerade h schneidet.
Für welches k schneiden sich und h rechtwinklig?

[Bearbeiten] Stochastik

Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig geworfen.

a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf

• ein Sechserpasch (beide Würfel zeigen eine Sechs) geworfen wird
• genau ein Würfel eine Drei zeigt
• die Differenz der Augenzahl 3 beträgt.

b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Würfeln kein Sechserpasch auftritt?

c)

In der Schule bietet Max seinen Klassenkammeraden folgendes Spiel an:
Es werden gleichzeitig zwei Würfel geworfen. Stimmen die beiden Augenzahlen überein, dann erhält der Mitspieler 12 Spielchips von Max. Im anderen Fall muss der Mitspieler Max so viele Spielchips geben, wie die Differenz der Augenzahlen beträgt. Die Zufallsvariable X wird definiert durch die Anzahl der Spielchips, die Max erhält. Stellen sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion durch eine Wertetabelle dar.
Ist das Spiel für Max günstig?

Lösung

[Bearbeiten] Gruppe II Vektorgeometrie/Stochastik Aufgabe B

[Bearbeiten] Gruppe III Anwendungsorientierte Aufgaben Aufgabe A

[Bearbeiten] Gruppe III Anwendungsorientierte Aufgaben Aufgabe B

Für eine Gedenkstatue soll eine Bronzelegierung mit einem Gehalt von 92% Kupfer, 7% Zinn und 1% Zink hergestellt werden.
Zur verfügung stehen

• alte Kupfermünzen (Rohstoff I) mit 95% Kupfer, 4% Zinn und 1% Zink,
• Glockenbronze (Rohstoff II) mit 55% Kupfer, 25% Zinn sowie
• Rotmessing (Rohstoff III) mit 90% Kupfer und 10% Zink.

Es sollen 100 kg der Statuenlegierung hergestellt werden.

a)

Wie viel Kilogramm der Rohstoffe I, II und III sind notwendig, um die gewünschte Legierung herzustellen? (5 Punkte)

Lösung

Von den 100 kg Legierung sind 92 kg Kupfer, 7 kg Zinn und 1 kg Zink daraus folgt:

 | 0,95X1   0,75X2   0,90X3 = 92 | <-- Kupfer
 | 0,04X1   0,25X2   0,00X3 = 07 | <-- Zinn
 | 0,01X1   0,00X2   0,10X3 = 01 | <-- Zink
     |        |        |
     |        |         > Rotmessing
     |         > Glockenbronze
      > Rotmessing

Lösung mit GTR: X1=83,78 X2=14,59 X3=1,62
Man benötigt 83,78 kg Rohstoff I, 14,59 kg Rohstoff II, 1,62 kg Rohstoff III.

b)

Begründen Sie, dass es nicht möglich ist, die Legierung nur aus Kupfermünzen und Glockenbronze herzustellen. (3 Punkte)

Lösung

Um den erforderlichen Zinkanteil zu erreichen, bräuchte man 100 kg Rohstoff I, weil Rohstoff II kein Zink enthält.

c)

Nun steht zusätzlich reines Kupfer als Rohstoff IV zur Verfügung.
Welche Mengen der Rohstoffe II, III und IV sind nötig, wenn 50 kg Kupfermünzen eingeschmolzen werden sollen? (5 Punkte)

Lösung

Mit Hilfe der Matrix aus a) mit X1=50 (Rüberaddieren):

• 50 kg Rohstoff I
• 20 kg Rohstoff II
• 05 kg Rohstoff III
• 25 kg Rohstoff IV

d)

Geben Sie die Zusammensetzung einer Legierung aus Kupfer, Zinn und Zink an, die sich nicht aus den 4 Rohstoffen herstellen lässt.
Begründen sie ihre Wahl. (2 Punkte)

Lösung

Es lassen sich beispielsweise keine Legierungen mit weniger als 75% Kupfer herstellen, weil kein Rohstoff weniger als 75% Kupfer enthält.

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