Beispielaufgaben für einen Beweis durch vollständige Induktion

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[Bearbeiten] Aufgabe 1

Behauptung:

Was soviel bedeutet wie: Gauß ist angeblich in der Schule auf diese Formel gekommen als ihm der Lehrer zur Strafe auftrug alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen. In diesem Fall wäre n = 100 und das Ergebnis .

Diese Formel wird deshalb auch als Gauß'sche Summenformel bezeichnet.

Wir gehen folgendermaßen vor:

1. Induktionsanfang

Wir prüfen ob sie gilt indem wir ein beliebiges n einsetzen. Der Einfachheit halber nehmen wir an dass n = 1 ist.

Die Summe von 1 ist also 1 was logischerweise auch stimmt.

Wir fahren fort.

2. Induktionsschritt

Wir gehen jetzt einen Schritt weiter und setzen n = n+1.

Wir wollen also die Summe aller Zahlen von 1 bis n+1 wissen. Also nehmen wir die Summe von 1 bis n und addieren zusätzlich nochmal ein (n+1).

Wir setzen nun unsere Gauß'sche Summenformel für die Summen ein.

Der nächste Schritt ist nun die Summenformel der Summe von 1 bis n+1 aufzustellen.

Statt n setzen wir in die bekannte Formel einfach n+1 statt n.

Was ergibt.

Das nun in unsere obere Gleichung eingesetzt ergibt.

Auf der linken Seite steht als nun die Summenformel von 1 bis n+1 und auf der rechten Seite die Summenformel für 1 bis n zudem wir nochmal n+1 addiert haben.

Das sollte also nun prinzipiell exakt das selbe sein (ist es auch) aber das müssen wir erst noch zeigen.

Wir gehen also zunächst hin und erweitern (n+1) mit 2.

Dadurch können wir erstens die beiden Brüche auf der rechten Seite zusammenfassen und zweitens die gesamte Gleichung mal 2 nehmen um selbige loszuwerden.

erstens:

zweitens

Wir gehen hin und multiplizieren aus.

Wir sehen also dass auf beiden Seiten von Anfang an das gleiche stand, was wir ja auch beweisen wollten.

[Bearbeiten] Aufgabe 2

Behauptung: Die Summe aller von 1 bis n lässt sich durch die Formel errechnen.

Also:

Oder mathematisch ausgedrückt

Wir gehen exakt gleich vor wie oben.

Wir setzen zunächst n = 1 und prüfen ob die Formel überhaupt stimmt.

Korrekt.

Wir stellen unsere Gleichung auf.

Was gleichbedeutend ist mit:

Wir gehen wieder hin und setzen auf der linken Seite n+1 statt n.

Wir erweitern (n+1)^3 mit 4.

Dadurch werden wir die ollen Brüche los wenn wir die gesamte Gleichung mal 4 nehmen.

Jetzt multiplizieren wir stur aus. (Kann recht fies werden bei so mancher Aufgabe)

Wir sehen wie bei Aufabe 1 auch dass auf beiden Seiten wieder das selbe ist.

Wir haben also gezeigt dass die Summe aller von 1 bis n+1 genau das selbe ist wie die Summe aller von 1 bis n plus

[Bearbeiten] Aufgabe 3

Behauptung:

Die Summe aller von 0 bis n lässt sich durch die Formel errechnen.

Also

oder.

Wir setzen wieder n so klein wie möglich, in diesem Fall also n = 0.

Was so auch stimmt.

Wir stellen wieder unsere Gleichung auf.

und gehen weiter.

Setzen auf der linken Seite wieder n+1 statt n ein.

Erweitern (n+1)^4 mit 30 um die Brüche loszuwerden.

Gleichung mal 30 nehmen.

Ich gebe zu das ist jetzt sehr viel Schreibarbeit und mehr oder weniger stupide aber wenn man konsequent alles ausmultipliziert erhält man als Ergebnis.

Wir haben also wieder auf beiden Seiten das selbe stehen womit gezeigt ist dass die Summe aller k^4 von 1 bis n+1 das selbe ist wie die Summe aller k^4 von 1 bis n plus (n+1)^4.