Trigonometrische Funktionen

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Trigonometrie ist ein wichtiger Bestandteil der Geometrie und beschäftigt sich hauptsächlich mit der Berechnung von Dreiecken. Dabei werden die trigonometrischen Funktionen zur Hilfe genommen (u.a. Sinus, Kosinus, Tangens).

Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln wobei und den Seiten:

a: GEGENKATHETE (gk)
b: ANKATHETE (ak)
c: HYPOTENUSE (H)

gilt:

bis hier überarbeitet - vereinfacht

Dabei ist es nicht ganz selbstverständlich, dass diese Definitionen sinnvoll sind. Von dem betrachteten Dreieck sind nämlich nur die Größen der Winkel bekannt, nicht aber die Seitenlängen. Verschiedene rechtwinklige Dreiecke mit dem gegebenen Winkel sind aber immerhin untereinander ähnlich, sodass sie in ihren Seitenverhältnissen übereinstimmen. Beispielsweise könnte eines dieser Dreiecke doppelt so lange Seiten haben wie das andere. Die Brüche der genannten Definitionsgleichungen hätten in diesem Fall die gleichen Werte. Diese Werte hängen also nur vom gegebenen Winkel ab. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, von Funktionen der Winkel zu sprechen.

Inhaltsverzeichnis 1 Beispiel: Berechnung einer Seitenlänge 2 Beispiel: Berechnung einer Winkelgröße 3 Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis 4 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck 5 Eigenschaften und Formeln 6 Anwendungsgebiete 7 Geschichtliches 8 Literatur 9 Weblinks

[Bearbeiten] Beispiel: Berechnung einer Seitenlänge

In einem Dreieck ABC sind folgende Größen gegeben:

Aus diesen Angaben soll die Seitenlänge c ermittelt werden. Da die Ankathete von bekannt und die Hypotenuse gesucht ist, wird die Kosinus-Funktion verwendet.

[Bearbeiten] Beispiel: Berechnung einer Winkelgröße

Von einem Dreieck ABC ist bekannt:

Gesucht ist der Winkel . Die beiden gegebenen Seiten a und b sind die Ankathete und die Gegenkathete von . Daher ist es sinnvoll, die Tangens-Funktion einzusetzen.

Während im letzten Beispiel für einen bekannten Winkel der Kosinuswert zu berechnen war, ist hier die Situation umgekehrt. Aus einem bekannten Tangenswert soll der zugehörige Winkel bestimmt werden. Man benötigt hierfür die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion, die so genannte Arcustangens-Funktion (arctan). Mit dieser erhält man: ...

[Bearbeiten] Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis

Die bisher verwendeten Definitionen sind nur für Winkel unter 90° brauchbar. Für viele Zwecke ist man jedoch an trigonometrischen Werten größerer Winkel interessiert. Der Einheitskreis, das ist ein Kreis mit Radius 1, erlaubt eine solche Erweiterung der bisherigen Definition. Zum gegebenen Winkel wird der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt. Die x-Koordinate dieses Punkts ist der Kosinuswert des gegebenen Winkels, die y-Koordinate der Sinuswert.

Die oben gegebene Definition von Sinus- und Kosinuswert durch x- und y-Koordinate lässt sich problemlos auf Winkel über 90° ausdehnen. Man erkennt dabei, dass für Winkel zwischen 90° und 270° die x-Koordinate und damit auch der Kosinus negativ ist, entsprechend für Winkel zwischen 180° und 360° die y-Koordinate und somit auch der Sinus. Auch auf Winkel, die größer als 360° sind, sowie auf negative Winkel lässt sich die Definition ohne Weiteres übertragen.

Man beachte, dass in der modernen Herangehensweise die Beziehung zwischen Winkel und Sinus bzw. Kosinus dazu benutzt wird, um den Winkel zu definieren. Die Sinus- und Kosinusfunktion selbst werden über ihre Reihendarstellung eingeführt.

Die weiteren vier trigonometrischen Funktionen sind definiert durch:

[Bearbeiten] Trigonometrie im allgemeinen Dreieck

Auch für beliebige Dreiecke (im Allgemeinen ohne rechten Winkel) wurden etliche Formeln entwickelt, die es gestatten, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu bestimmen. Zu nennen wären hier insbesondere Sinussatz und Kosinussatz. Die Verwendung des Sinussatzes

ist sinnvoll, wenn von einem Dreieck entweder zwei Seiten und einer der beiden gegenüber liegenden Winkel oder eine Seite und zwei Winkel bekannt sind. Der Kosinussatz

ermöglicht es, entweder aus drei gegebenen Seiten die Winkel auszurechnen oder aus zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel die gegenüber liegende Seite. Weitere Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten, sind der Tangenssatz, der Kotangenssatz (Halbwinkelsatz) und die mollweidesche Formeln.

[Bearbeiten] Eigenschaften und Formeln

Die Artikel über die sechs trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Secans, Kosecans und die Formelsammlung Trigonometrie enthalten zahlreiche Eigenschaften dieser Funktionen und Formeln zum Rechnen mit diesen. Besonders häufig gebraucht werden die Komplementärformeln für Sinus und Kosinus

sowie der trigonometrische Pythagoras

Wichtig sind auch die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen und die Folgerungen daraus. Es geht dabei um trigonometrische Werte von Summen oder Differenzen von Winkeln. So gilt beispielsweise für die Sinusfunktion:

hier die geploteten Formeln im Bereich -Pi bis Pi

sin(x)	cos(x)	tan(x)

[Bearbeiten] Anwendungsgebiete

Trigonometrie spielt in vielen Bereichen eine entscheidende Rolle:

In der Geodäsie (Vermessung) spricht man von Triangulation, wenn man von Punkten bekannter Position aus andere Punkte anpeilt (Winkelmessung) und daraus trigonometrisch die Positionen der neuen Punkte bestimmt. In der Astronomie lassen sich auf entsprechende Weise die Entfernungen von Planeten, Monden und nahe gelegenen Fixsternen ermitteln. Ähnlich groß ist die Bedeutung der Trigonometrie für die Navigation von Flugzeugen und Schiffen und für die sphärische Astronomie, insbesondere für die Berechnung von Stern- und Planetenpositionen.

In der Physik dienen Sinus- und Kosinus-Funktion dazu, Schwingungen und Wellen mathematisch zu beschreiben. Entsprechendes gilt für den zeitlichen Verlauf von elektrischer Spannung und elektrischer Stromstärke in der Wechselstromtechnik.

[Bearbeiten] Geschichtliches

Vorläufer der Trigonometrie gab es bereits während der Antike in der griechischen Mathematik. Aristarchos von Samos nutzte die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke zur Berechnung der Entfernungsverhältnisse zwischen Erde und Sonne bzw. Mond. Von den Astronomen Hipparch und Ptolemäus ist bekannt, dass sie mit Sehnentafeln arbeiteten, also mit Tabellen für die Umrechnung von Mittelpunktswinkeln (Zentriwinkeln) in Sehnenlängen und umgekehrt. Die Werte solcher Tabellen hängen unmittelbar mit der Sinus-Funktion zusammen: Die Länge einer Kreissehne ergibt sich aus dem Kreisradius r und dem Mittelpunktswinkel gemäß

Ähnliche Tabellen wurden auch in der Geschichte der indischen Mathematik verwendet. Arabische Wissenschaftler übernahmen die Ergebnisse von Griechen und Indern und bauten die Trigonometrie, insbesondere die sphärische Trigonometrie weiter aus. Im mittelalterlichen Europa wurden die Erkenntnisse der arabischen Trigonometrie erst spät bekannt. Die erste systematische Darstellung des Gebiets erfolgte im 15. Jahrhundert. Im Zeitalter der Renaissance erforderten die zunehmenden Problemstellungen der Ballistik (Achtung Euphemismus: Gemeint sind die Flugbahnberrechnungen von Geschossen aus Kanonen oder Gewehren) und der Hochseeschifffahrt eine Verbesserung der Trigonometrie und des trigonometrischen Tafelwerks. Der deutsche Astronom und Mathematiker Regiomontanus (Johann Müller) fasste Lehrsätze und Methoden der ebenen und sphärischen Trigonometrie in dem fünfbändigen Werk "De triangulis omnimodis" zusammen.

Die heute verwendeten Schreibweisen und die analytische Darstellung der trigonometrischen Funktionen stammen zum größten Teil von Leonhard Euler.

[Bearbeiten] Literatur

• Lehrbuch und Übungsbuch Mathematik:

Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. Von Wolfgang Pauli (1991), ISBN 3-446-00755-5, KNO-NR: 04 41 57 51

[Bearbeiten] Weblinks

• Dieser Artikel als Bild:TrigonometrischeFunktionen.pdf

• Trigonometrische_Funktionen in der deutschen Wikipedia

• Trigonometrie in der deutschen Wikipedia

• Übersicht zur Trigonomie
• Interaktiver Trigonometrie Kurs - auch Download
• Trigonometrische Java applets
• Trigonometrie für Schüler im Online-Mathematikbuch
• Zur Geschichte der Trigonometrie
• Aufsatz zum Mathe-Seminar der UNI-Bayreuth
• Trigonometrie mit Geogebra

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