Bayern Abitur Mathematik GK 1997

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Grundkurs Mathematik Abiturprüfung 1997 Analytische Geometrie V

In einem kartesischen Koordinatensystem enthält die Gerade g den Punkt S(2/4 /-2) und besitzt den Richtungsvektor . 1. a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt P der Geraden g mit der Ebene x2 = -2.

       [Ergebnis: P(-l/-2/1)]                                              				(3 BE)

b) Zeigen Sie, daß das Dreieck PAS mit A(2/-2/-2) bei A rechtwinklig ist. Fertigen Sie eine Skizze an, die das Dreieck PAS und die Gerade g enthält. (3 BE) c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck PAS liegt, in Normalenform. Welche besondere Lage hat die Ebene E im Koordinatensystem? [mögliches Ergebnis: E: x1 + x3 == 0] (6 BE)

Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lotes von dem Punkt A (Teilaufgabe l b) auf die Gerade g.

2. a) Bestimmen Sie F, und tragen Sie den Punkt F in die Skizze von Teilaufgabe l b ein. [Ergebnis: F(0/070)] (5 BE) b) Der Spiegelpunkt des Punktes A an der Geraden g heißt C. Bestimmen Sie C, und tragen Sie C in die Skizze von Teilaufgabe l b ein. (2 BE) c) Die Punkte A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Quadrats mit dem Diagonalen-schnittpunkt F. Die Diagonale BD des Quadrats steht senkrecht auf der Ebene E (Teilaufgabe l c). Bestimmen Sie die Punkte B und D. [mögliches Teilergebnis: B( /0/ ) ]. (7 BE) d) Die Pyramide ABCDP hat ihre Spitze im Punkt P (Teilaufgabe l a). Welchen Winkel (auf l ° genau) schließt eine Seitenkante dieser Pyramide mit der Grundfläche ein? Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide ABCDP. (8 BE)

3. a) Die Eckpunkte des Quadrats ABCD (Teilaufgabe 2 c) liegen auf der Kugel K, deren Mittelpunkt der Punkt P (Teilaufgabe l a) ist.Geben Sie die Gleichung der Kugel K an.(3 BE) b) Geben Sie Mittelpunkt und Radius der kleinsten Kugel an, auf der die Eckpunkte A, B, C und D liegen. (3 BE) (40 BE)

Grundkurs Mathematik Abiturprüfung 1997 Analytische Geometrie VI

In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt C(4/0/4), die Ebene E:2x1 - x2 + 2x3 + 2 = 0 und die Gerade gegeben.

1. a) Zeigen Sie, daß der Punkt C auf der Geraden g liegt. (2 BE) b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts A der Geraden g mit der Ebene E,. [Ergebnis: A( l/0/-2)] (4 BE) c) Berechnen Sie den Winkel zwischen einem Richtungsvektor der Geraden g und einem Normalenvektor der Ebene E1 auf 0,1° genau. Unter welchem Winkel schneidet also die Gerade g die Ebene E1? (5 BE) d) Ermitteln Sie den Abstand des Punkts C von der Ebene E1. Prüfen Sie, ob der Punkt C und der Ursprung 0 des Koordinatensystems auf verschiedenen Seiten der Ebene E1 liegen. (5 BE) Die Ebene E2 enthält die Gerade g und steht senkrecht auf der Ebene E1. 2. a) Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E2 in Normalenform auf. [mögliches Ergebnis: E2: 2x1 + 2x2 - x3 - 4 =: 0] (5 BE) b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der beiden Ebenen E1 und E2. [mögliches Ergebnis: s: ] (6 BE)

c) Bestimmen Sie auf der Geraden s den Punkt B so, daß das Dreieck ABC (A: Teilaufgabe l b) bei C einen rechten Winkel besitzt. Fertigen Sie eine Skizze an, die das Dreieck ABC sowie die Geraden g und s enthält. [Ergebnis: B(-471078)] (7 BE) d) Durch Rotation des Dreiecks ABC um die Gerade AB als Achse entsteht ein Doppelkegel, der aus zwei geraden Kreiskegeln mit gemeinsamer Grundfläche besteht. Berechnen Sie das Volumen dieses Doppelkegels. (6 BE) (40 BE)