Beispielaufgaben zum Binomialkoeffizient

[Bearbeiten] Aufgabe 1

Beweisen sie die folgende Aussage. Das Additionstheorem für Binomialkoeffizienten, für alle

Wir fangen an.

Wir wissen dass ist.

Demzufolge setzen wir die verschiedenen n über k Summanden in die Formel ein.

Was folgendes ergibt.

Das sieht sehr abstrus aus und man kann noch relativ wenig damit rechnen. Um kürzen und vereinfachen zu können müssen wir folgenden trick anwenden.

Heißt nichts anderes als dass wir den ersten Teil der Fakultät aus der Fakultät herausgeholt haben.

Genauso gilt:

Jetzt einfach einsetzen.

Wir erweitern den ersten Summanden mit und den zweiten Summanden mit .

Wir sortieren mal ein bisschen... Aber oben sieht man auch schon dass die Nenner gleich sind.

Wir schmeißen den Nenner raus.

Wir klammern das aus.

Und schmeißen es im nächsten Schritt gleich raus.

Was dann zu wird. Womit wir gezeigt haben dass obrige Aussage stimmt.