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Aus WikiSchool
[Bearbeiten] GWM 5.1 Zahlenmengen
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der natürlichen Zahlen mit Null
Menge der ganzen Zahlen
Primzahlen: Eine Zahl die genau zwei Teiler hat, heißt Primzahl.
Menge der Primzahlen
Primfaktorzerlegung: Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.
Beispiel:
Menge der Quadratzahlen
Römische Zahlen:
dürfen bis zu dreimal nacheinander stehen. werden beim Voranstellen einmal abgezogen.
Beispiel:
[Bearbeiten] GWM 5.2 Fachbegriffe beim Rechnen
[Bearbeiten] GWM 5.3 Potenzen
Potenz:
Beispiel: 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 47
Merke: 23 = 8 aber 2 · 3 = 6
[Bearbeiten] GWM 5.4 Rechengesetze und die Bedeutung der Null
Reihenfolge: „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich!“ Was noch nicht zum Rechnen dran ist, schreibt man unverändert an! Kommutativgesetz: a ∙ b = b ∙ a 5 ∙ 3 = 3 ∙ 5 a + b = b + a 5 + 3 = 3 + 5 Distributivgesetz: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c 2 · (5 + 3) = 2 · 5 + 2 · 3 a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c 2 · (5 – 3) = 2 · 5 – 2 · 3 (a + b) : c = a : c + b : c (170 + 51) : 17 = 170 : 17 + 51 : 17 (a – b) : c = a : c – b : c (170 – 51) : 17 = 170 : 17 – 51 : 17 Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 3 + 5 (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5) = 2 · 3 · 5 Null bei der Multiplikation Ist ein Faktor Null, so ist auch der Produktwert Null. 3 ∙ 0 = 0 ∙ 3 = 0. Ist der Produktwert Null, so muss mindestens ein Faktor Null sein. Aus a ∙ b = 0 folgt: a = 0 oder b = 0. Null bei der Division Allgemein: 0 : a = 0 (für a ≠ 0) 0 : 5 = 0 Die Division durch Null ist nicht erlaubt!
[Bearbeiten] GWM 5.5 Ganze Zahlen
Zahlengerade:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Betrag: Der Betrag einer Zahl ist ihre Entfernung vom Nullpunkt. Beispiel: | -4 | = 4; | 4 | = 4 Zahlen, die gleichen Betrag aber verschiedene Vorzeichen haben, heißen Gegenzahlen. Beispiel: 4 und -4; 3 und -3
[Bearbeiten] GWM 5.6 Rechnen mit ganzen Zahlen: Addition und Subtraktion
(+11) + (-4) = 11 – 4 = 7
(+11) – (+4) = 11 – 4 = 7
5 + (+3) = 5 + 3 = 8 -5 + (+3) = -5 + 3 = -2
5 + (-3) = 5 – 3 = 2 -5 + (-3) = -5 – 3 = -8
5 – (+3) = 5 – 3 = 2 -5 – (+3) = -5 – 3 = -8
5 – (-3) = 5 + 3 = 8 -5 – (-3) = -5 + 3 = -2
[Bearbeiten] GWM 5.7 Rechnen mit ganzen Zahlen: Multiplikation und Division
Regel: Gleiche Vorzeichen ergeben beim Multiplizieren und Dividieren „+“, ungleiche „-“. 3 · (+5) = 15 15 : (+5) = 3 -3 · (+5) = -15 -15 : (+5) = -3 3 · (-5) = -15 15 : (-5) = -3 -3 · (-5) = 15 -15 : (-5) = 3
[Bearbeiten] GWM 5.8 Größen und Maßstab
Länge: Umrechnungszahl 10 Ausnahme: 1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm 1 m = 0,001 km 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,1 dm = 0,01 m 1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m
Fläche: Umrechnungszahl 100 1 km² = 1 km · 1 km = 1000m · 1000 m = 1 000 000 m² 1 km² = 100 ha 1 ha = 100 a 1 a = 100 m² 1 ha = 0,01 km2 1a = 0,01 ha = 0,0001 km2 1 m² = 100 dm² 1 dm² = 100 cm² 1 cm² = 100 mm² 1 m² = 0,01 a = 0,0001 ha 1 dm2 = 0,01m2 1 cm2 = 0,01 dm2 1 mm² = 0,01 cm²
Masse: Umrechnungszahl 1000 1 t = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg 1 kg = 0,001 t 1 g = 0,001 kg 1 mg = 0,001 g
Zeit: 1 a = 365 d 1 d = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s
Maßstab: Der Maßstab 1 : 100 (lies 1 zu 100) bedeutet: 1 cm in der Zeichnung entspricht 100 cm in der Wirklichkeit. Beispiel: Eine 5 cm lange Strecke in einer Karte mit dem Maßstab 1 : 250000 entspricht in der Wirklichkeit 5 ∙ 250000 cm = 1250000 cm = 12500 m = 12,5 km.
[Bearbeiten] GWM 5.9 Kreis Vierecke
Alle Punkte, die von einem Punkt M aus gleich weit entfernt sind, liegen auf einem Kreis.
allgemeines Rechteck Quadrat Parallelogramm Viereck
[Bearbeiten] GWM 5.10 Körper
Würfel Quader Pyramide Prisma
Kegel Zylinder Kugel
[Bearbeiten] GWM 5.11 Umfang, Flächeninhalt, Oberflächen
Umfang des Rechtecks: UR = 2 × (l + b) Umfang des Quadrates: UQ = 4 × a
Flächeninhalt des Rechtecks: AR = l × b Flächeninhalt des Quadrates: AQ = a²
Oberflächeninhalt des Quaders: OQ = 2 × (l × b + l × h + b × h) Oberflächeninhalt des Würfels: OW = 6 a²
Netz des Quaders
[Bearbeiten] GWM 5.12 Strecken, Geraden, Winkel
Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte. [AB] „Strecke AB“ Der Abstand von Anfangs- und Endpunkt ist die Länge der Strecke [AB]. „Länge der Stecke“ Verlängert man eine Strecke über einen Punkt bzw. über beide Punkte hinaus, so einsteht eine Halbgerade bzw. Gerade. Beispiele: [AB] [AB AB
g ist parallel zu h: g êêh
g ist senkrecht zu h (g ist Lot zu l): g ^ l
Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden ist die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke.
Zwei Halbgeraden mit demselben Anfangspunkt S teilen die Ebene in zwei Teile. Jeder Teil (mit Rand) heißt Winkel. Winkelarten: Nullwinkel: a = 0° spitze Winkel: 0° < a < 90° rechter Winkel: a = 90° stumpfe Winkel: 90° < a = < 180° gestreckter Winkel: a = 180° überstumpfe Winkel: 180° < a < 360°
[Bearbeiten] GWM 5.13 Koordinatensystem
Ein Koordinatensystem besteht aus zwei senkrechten Zahlenstrahlen mit gemeinsamem Nullpunkt. Die x-Achse heißt auch Abszisse, die y-Achse auch Ordinate.
Ein Punkt P(x/y) ist durch seine Koordinaten festgelegt.
Die Ebene wird in vier Quadranten unterteilt.
[Bearbeiten] GWM 5.14 Zählprinzip, Baumdiagramm
Veranschaulichung am Baumdiagramm: Jeder Pfad durch den Baum steht für eine Kombinationsmöglichkeit. Hat die erste Verzeigung n Äste und die zweite m Äste, so gibt es n × m Möglichkeiten.
Beispiel: Es gibt rote (r), grüne (g) und blaue (b) Schuluniformen. Sie sind als T-Shirt T oder Sweatshirt S erhältlich. Es gibt 3 × 2 = 6 Möglichkeiten, nämlich: rT, gT, bT, rS, gS, bS.