Netzwerkberechnungen

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Inhaltsverzeichnis 1 Netzwerberechnungen 1.1 Maschenstromverfahren 1.2 Helmholtz-Verfahren 1.3 Ergebnis 1.4 Siehe auch

[Bearbeiten] Netzwerberechnungen

Viele Aufgaben in der Elektrotechnik beschäftigen sich damit, irgendwelche Ströme in mehr oder weniger komplexen Netzwerken zu ermitteln. Wenn man dies rein mit den Kirchhoff'schen Gesetzen versucht, kommt man bei schon bei weniger komplexen Netzwerken zu einem beträchtlichen Aufwand (Maschengleichungen aufstellen, Knotengleichungen aufstellen, schrittweise Unbekannte eliminieren). Es gibt aber zwei weitere Verfahren, mit denen sich Ströme einfacher berechnen lassen. Um unnötige Komplexität in diesen Atrikel zu bringen, werden nur Netzwerke mit ohm'schen Widerständen verwendet. Selbstverständlich funktionieren diese Verfahren mit Spulen und Kondensatoren ebenfalls.
Grundsätlich sollten -wenn möglich- zu allererst sämtliche Spannungs-/Stromquellen so umgewandelt werden, dass man möglichst wenige Verzweigungen im Netzwerk bekommt.

[Bearbeiten] Maschenstromverfahren

Gegebenen ist folgendes Netzwerk mit dem zu ermittelnden Strom I1:

zuerst ist eine Topographie dieses Netzwerkes zu erstellen. Das Bedeutet, sämtliche Knotenpunkte qualitativ aufzuzeichnen, und diese Knoten entlang der Leitungen zu verbinden. Wichtig dabei ist, dass kein Weg doppelt genommen werden darf, die Verbindungen identisch mit den Leitungen sind, und der zu suchende Strom nicht in einer Verbindung enthalten ist. Man erhält dann beispielsweise folgende Grafiken:

Der Einfachheit halber, werden die blauen Linien Baumströme genannt. Die übriggebliebenen Lücken bilden die Zweigströme:

Dabei ist zu beachten, dass die grünen Zweigströme eine Masche schließen. So muss auch die Topografie entsprechend gewählt werden, damit eine Masche auch immer nur durch einen Zweigstrom geschlossen werden kann.
Als nächstes legt man für die Maschen Umlaufrichtungen fest.
Im folgenden ist das Komplette Netzwerk mit eingezeichneten Maschen dargestellt:

Anhand dieser aufgestellten Maschen fällt es nun sehr einfach, den Strom I1 zu ermitteln. Ausgehend von dem Kirchhoff'schen Gesetzt, dass sich die Spannungen in einer Maschen aufheben, erhält man für diese drei Maschen drei Gleichungen:



Unter dem Stromvektor muss man sich den Vektor der Ströme vorstellen, die fließen würden, wenn man jede Masche separat betrachtet. Verknüpft werden diese Maschenströme untereinander durch die Widerstandsmatrix. Widerstände, die in 2 Maschen vorkommen, werden bei gleicher Umlaufrichtung am Widerstand positiv gewertet, bei gegensätzlicher Umlaufrichtung negativ gewertet. Auf der Rechten Seite der Gleichung stehen die Spannungen. Dabei ist es wichtig, das Spannungen, die in Umlaufrichtung der Masche sind, negativ gewertet werden, da sie auf die andere Seite des Gleichheitszeichens gebracht wurden. In unserem Beispiel soll der Strom ermittelt werden. Dazu berechnet man zuerst die Hauptdeterminante:



Und die Determinante, die sich ergibt, wenn man die zweite Spalte der Widerstandsmatrix mit dem Spannungsvektor austauscht:



Der hier gesuchte Strom ergibt sich dann mit:



Es ist nicht gerade einfach, diese relativ komplexe Verfahren so zu erklären. Deswegen könnt Ihr euch bei Fragen gerne an mich wenden, denn es gibt auch noch einige Spezialfällt. z.B. Wie verfährt man, wenn man ideale Stromquellen im Netzwerk hat? Diese kann man ja nicht in äquivalente Spannungsquelle umwandeln. --Whateverman 23:36, 30. Mär 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Helmholtz-Verfahren

Eine weitere Methode, ein Netzwerk zu berechnen ist der Überlagerungssatz von Helmholtz. Angenommen, man hat ein Netzwerk mit 3 Spannungsquellen und einer Stromquelle .
Man betrachtet zuerst die Spannungsquelle , schliesst alle anderen Spannungsquellen kurz, und unterbricht sämtliche Stromquellen. Dann erhält man ein einfacheres Widerstandsnetzwerk mit nur einer Quelle, und kann somit den Strom berechnen. Das ist der Teilstrom des zu berechnenden Stromes im Netzwerk, der alleine durch die betrachtete Spannungsquelle verursacht wird.
Daraufhin betrachtet man die Spannungsquelle , schliesst alle anderen Spannungsquellen kurz und unterbricht die Stromquellen. Somit erhält man den Strom . So wird weiter fortgefahren, bis man sämtliche Quellen einzeln betrachtet hat. Mit den oben gegebenen Quellen erhält man dann die Ströme

  Wichtig: Die Vorzeichen der einzeln berechneten Teilströme sind zu beachten!!!

Durch überlagerung der einzelnen Teilströme erhält man dann den gesuchtem Strom:

[Bearbeiten] Ergebnis

Wenn Ihr alles richtig gemacht habt, sollte für den gesuchten Strom 2,355mA herauskommen. Viel Spass beim Rechnen

[Bearbeiten] Siehe auch

Formelsammlung Gleichstromtechnik
Formelsammlung Wechselstromtechnik

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